Question

一道一元三次方程的数学题 请大神进！ 有答案无过程 请大神指导！

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Answer 1

用韦达定理：
x1+x2+x3=-a；
x1x2+x2x3+x3x1=b
x1x2x3=-c
这是由（x-x1）（x-x2）（x-x3）=x³+ax²+bx+c
拆开，两边对应系数相等得来的。
x³-（x1+x2+x3）x²+（x1x2+x2x3+x3x1）x-x1x2x3=x³+ax²+bx+c
三个根a，b，c
则：
a+b+c=-a，
ab+bc+ca=b
abc=-c，
如果c=0，a+b=-a，b=-2a；
ab=b：
b=0，a=0，c=0，x³=0；解1（a，b，c）=（0,0,0）；
b≠0，a=1，b=-2，c=0，x³+ax²+bx=x（x²+x-2）=x（x+2）（x-1）=0，三根，x1=-2，x2=0，x3=1，解2（a,b,c)=(1,-2,0);
；
如果c≠0：
ab=-1
b+c=-2a，c=-2a-b=2/b-b
bc+ca=b+1，c（a+b）=（-2a-b）（a+b）=b+1；
-2a²-2ab-ab-b²=b+1
-2a²-3ab-b²=b+1
-2a²+3-b²=b+1
2a²+b²+b-2=0
a=-1/b，代入：
2/b²+b²-2+b=0
2+b^4-2b²+b³=0
b^4+b³-2b²+2=0
b=-1，上式左边=0，a=1，c=-2×1-（-1）=-1，
方程x³+ax²+bx+c=x³+x²-x-1=x²（x+1）-（x+1）=（x+1）²（x-1）=0
三个根x=-1，-1,1；满足题意；解3（a,b,c）=(1,-1,-1);
以b为参数，解的一般形式（a，b，c)=(-1/b,b,2/b-b);

b³（b+1）-2b²-2b+2b+2
=b³（b+1）-2b（b+1）+2（b+1）
=（b+1）（b³-2b+2）=0
b³-2b+2=0，b满足方程，
设g(b)=b³-2b+2，g'(b)=3b²-2=0，b=±√（2/3），g"(b)=6b,
g(√（2/3）)=(-4/3)√（2/3）+2=0.911>0,g"(√（2/3）)>0,极小值；
g（-√（2/3））=(4/3)√（2/3）+2=3.09>0,g"(-√（2/3）<0,极大值；
g(-1)=3,g(-2)=-2,有唯一实根，位于（-2，-1）；
x³+px+q=0，p=-2，q=2，根判别式
Δ=q²/4+p³/27=2²/4+（-2）³/27=1-8/27=19/27>0
实根一个
b=³√[-q/2+√（q²/4+p³/27）]+³√[-q/2-√（q²/4+p³/27）]
=³√[-1+√（19/27）]+³√[-1-√（19/27）]=-1.769292354
a=-1/b=0.5651977174,c=2/b-b=0.6388969195

追问

第一小题x3-x1取值范围怎么求？

追答

也利用韦达定理

追问

不会算啊 能演示一下吗？？ x3-x1

追答

答案是错误的。
y=f(x)=x³+ax²+bx+c
y'=f'(x)=3x²+2ax+b，
如果有3个实根，必须有两个不同的极值点，y'=0有两个不相等的实数根：
Δ=（2a）²-4×3b=4a²-12b=4（a²-3b），a²-3b>0,a²/3>b,b-a²/3<0,开平方没有意义。
3b-a²<0，开平方也没有意义。
但是这个题目还是有解决办法的。
研究导数的性质：
y'=3x²+2ax+b，
这是一个向上开口的抛物线，关于x=-（2a）/（2×3）=-a/3对称；
距离x=-a/3相等的左右两点，y的切线斜率相同；
两个零点同样对称，因此对两个零点距离相等的对称点，y的切线斜率也相等。
这也预示，三次函数是关于x=-a/3中心对称的。
-a/3-x与-a/3+x对应两点的y坐标之和是常数：
f(-a/3-x)=(-a/3-x)³+a(-a/3-x)²+b(-a/3-x)+c
=-a³/27-3a²/9×x-3a/3×x²-x³+a（a²/9+2ax/3+x²）-ab/3-bx+c
=-a³/27-a²x/3-ax²-x³+a³/9+2a²x/3+ax²-ab/3-bx+c
=-x³+2a³/27+a²x/3-ab/3-bx+c
f(-a/3+x)=(-a/3+x)³+a(-a/3+x)²+b(-a/3+x)+c
=-a³/27+3a²/9×x-3a/3×x²+x³+a（a²/9-2ax/3+x²）-ab/3+bx+c
=-a³/27+a²x/3-ax²+x³+a³/9-2a²x/3+ax²-ab/3+bx+c
=x³+2a³/27-a²x/3-ab/3+bx+c
f(-a/3-x)+f(-a/3+x)=4a³/27-2ab/3+2c=常数
对称点的纵坐标=[f(-a/3-x)+f(-a/3+x)]/2=2a³/27-ab/3+c
对于不同的c，相当于同一个图形，上下平移：
y1=x³+ax²+bx+c1
y2=x³+ax²+bx+c2
y2-y1=c2-c1
现在，我们研究x3-x1的变化，过x1，x3，做f(x)的切线，斜率为f'(x1),f'(x3);
将c增加一个微小增量Δc，相当于把x轴向下平移Δc，此时，x1向左移动了近似Δc/f'(x1)，x3也向左移动了近似Δc/f'(x3)
Δ（x3-x1）=Δc/f'(x1)-Δc/f'(x3)
Δ（x3-x1）/Δc=1/f'(x1)-1/f'(x3)
(超字数）

根据对称性，最后两种情况，相同。

Δc→0，d(x3-x1)/dc=1/f'(x1)-1/ f'(x3)
x1与x3中心对称时， f'(x1)= f'(x3)
d(x3-x1)/dc=0，
x3-x1有极大值，此时，对称中心x=-
a/3，也是一根x2。
当x1与x2重合于f(x)左极值点，或者，x2与x3重合于f(x)右极值点时， x3-x1有极小值。

网络不给力，图发乱了，顺序：第1，3，2，4

另外，利用韦达定理，写出(x3-x1)²的表达式，对c求偏导数，也可求得最大值，但是，求最小值不方便。