Question

直线l经过点P(2,-1)且与椭圆x²/16+y²/4=1相交于A,B两点,若P为线段AB的中点,求

直线l经过点P(2,-1)且与椭圆x²/16+y²/4=1相交于A,B两点,若P为线段AB的中点,求l的方程

Answer 1

设过P(2，-1)的直线L的方程为：y=k(x-2)-1=kx-2k-1................①;
代入椭圆方程：x²/16+y²/4=1得：
4x²+16(kx-2k-1)²=64
展开得：(4+16k²)x²-32k(2k+1)x+16(2k+1)²-64=0
化简得：(1+4k²)x²-8k(2k+1)x+16k²+16k-12=0
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)；那么依韦达定理可知：
x₁+x₂=8k(2k+1)/(1+4k²)
x₁x₂=(16k²+16k-12)/(1+4k²)
y₁+y₂=kx₁-2k-1+kx₂-2k-1=k(x₁+x₂)-4k-2=8k²(2k+1)/(1+4k²)-4k-2
=-(4k+2)/(1+4k²)
P(2，-1)是AB的中点，故：(x₁+x₂)/2=4k(2k+1)/(1+4k²)=2............②
(y₁+y₂)/2=-(2k+1)/(1+4k²)=-1，即(2k+1)/(1+4k²)=1.....................③
②÷③得 4k=2，∴k=1/2.
代入①式即得直线L的方程为：y=(1/2)x-2；即x-2y-4=0为所求。
【事实上，椭圆的下顶点A(0，-2)和右顶点B(4，0)的中点就是P(2，-1);
AB的方程就是 x-2y-4=0；因此上述运算可省略，直接写出AB所在直线的方程。】