Question

数学中什么是抽象图形

Answer 1

数学的抽象性是数学]的一个最基本特征，无论是数学概念，还是数学方法都是抽象的。数学抽象方法是数学研究中的一种基本方法，下面我们根据某些数学家研究结果，简要叙述一下数学抽象方法的涵义、特征和类型。

一、 何谓数学抽象方法

数学抽象方法是一种科学抽象方法。它是从考虑的问题出发，通过对各种经验事实的

观察、分析、综合和比较，在人们的思维中撇开事物现象的、外部的、偶然的东西，抽出事物本质的、内在的、必然的东西，从空间形式和数量关系上揭示客观对象的本质和规律，或者在已有数学知识的基础上，抽出其某一种属性作为新的数学对象，以此达到认识事物本质和规律的目的的一种数学研究方法。例如，几何中的“点”的概念是从现实世界中的水点、雨点、起点、终点等具体事物中抽象出来的，它舍弃了事物的各种物理、化学等性质，不考虑其大小、仅仅保留其表示位置的性质。

二、数学抽象的基本特征

数学抽象有三个基本特征：

1． 在数学抽象中，舍弃了客观对象的其他各个属性而仅保留其量的属性。在这里量的

概念是随着人类实践的发展，其包含的内容越来越丰富。古典数学中所谓的量通常是指“形”和“数”这两个基本含义，现代数学中的量通常是指数学的关系结构系统。

2． 数学抽象是一种构造性活动，即借助于明确的定义“构造”出了相应的数学对象，

称之为数学对象的“逻辑建构”。只有通过这种逻辑建构，数学对象才能由内在的思维活动转化为“外部的”独立存在，相应的数学结论也才能摆脱思维活动所必然具有的“个体性”，并获得作为科学知识所必须具有的“普遍性”。例如，垂直这一概念对于不同的人来说可能具有不同的心理图像，但是在数学中所研究的则是有这一概念的定义所能推出的逻辑结论，从而这就是一种客观知识。

3． 数学抽象有着丰富的层次性，它可以从现实世界客观事物中抽象，又可以在已有数

学知识的基础上进行抽象，其抽象所达到的高度远远超出了其他科学的一般抽象。现代数学发展的一个重要特点就在于它的研究对象已经从具有直观意义的量的关系和形式扩展到了可能的量的关系和形式。这表明了数学抽象所达到的特殊高度。这些高度抽象的概念，与真实世界的距离如此遥远，以致常常被称为“思维的自由想象与创造”物。

三、数学抽象的类型

数学抽象的常用方法有理想化抽象、等价抽象、强抽象和弱抽象等，现分述如下：

1． 理想化抽象

理想化抽象是一种特殊的数学抽象，它是对客观事物或现象从量的方面进行简单化、完

善化的加工处理，使其实际现实中客观事物或现象所必须固有的量的性质和关系的抽象化，并把原则上不可能属于其现实原像的量的特征引用于被构成概念的内涵之中。例如，几何中点、线、面等基本概念的引进，就是进行理想化抽象的结果。

通过理想化抽象得到的数学概念未必与原型相符。例如，在现实世界重，根本找不到没有大小的点、没有厚度和宽度的线、没有厚度的面。但这些点、线、面的数学概念更加深刻、正确、完全地反映了客观事物的属性，因此，它不是远离事物，而是更加接近事物。由此看出，理想化抽象是主观的抽象形式与客观的具体内容的辩证的统一。这种方法不仅对于数学概念是十分重要的，而且对于建立数学模型也是必不可少的。 欧拉把哥尼斯堡七桥问题转化为一笔画问题的数学模型就是利用了理想化抽象的方法。

理想化抽象的结果在数学中表现出各种不同的结构形式，既有图形又有解析表达式；既有具体的数学，又有一般的抽象符号系统等。

2． 等价抽象

等价抽象是借助于等价关系给出已知集合的一个划分，然后将其中等价的元素“同一化”

而得到一个新集合的一种方法。其具体含义是，如果集合 中的一个二元关系 满足下述三条：

（1）自反性 对任意的 ， 和 有关系 ，即 ；

（2）对称性 若 ，则 ，其中 ；

（3）传递性 若 ， ，则 ，其中 ，

则称 为 上的一个等价关系。由此可以看出得到 的一个划分，使得 被表成若干个“等价类” 的并。等价的元素位于同一等价类，不等价的元素位于不同的等价类之中。然后将同一等价类中的元素“同一化”，即将等价的元素在抽象意义下看作同一个东西，这样，一个等价类形象上凝聚了一个新的抽象元素。由所有这些元素就构成了一个新集合，即 关于 的商集 。由 到 的过程便是等价抽象的过程。例如，在初等数论中，若整数 和 用 除，有相同的余数，则称 和 是对模 同余的，记作 。显然，同余关系是建立在整数系统上的等价关系。再如，有理数可以看作整数偶的等价类。

等价抽象方法是建立在新的数学系统的常用手段之一，在数学研究中有着广泛的应用，数学中很多重要概念的出现都是由此而导致的，这种方法在解题中往往亦可发挥其效力。

3． 强抽象

强抽象亦称为强化结构式抽象。它是指通过引入新特征强化原结构来完成抽象，从而所

获得的新结构为原结构的特例。也就是说，强抽象是通过扩大原概念的内涵，来建立新概念的抽象方法。例如，由任意三角形概念出发，若加强对“边”的属性限制，要求二边相等或三边相等，这样就获得等腰三角形或等边三角形的两个新概念；若加强对“角”的属性的限制、，比如，要求一个角为直角，通过这样的强抽象，就可以获得]直角三角形的概念。再如，在函数概念中引进连续性概念，就构成连续函数概念。

4． 弱抽象

若抽象亦称概念的扩张式抽象。它是指从原型中选取某一特征，并减弱这一特征的限制

加以抽象，从而获得比原结构更广泛的结构过程。原型是其弱抽象的特例。弱抽象是通过缩小原概念的内涵，来建立新概念的数学抽象方法。例如，全等形具有面积相等，形状相似的性质，如果从这一概念出发，减弱对“面积相等”的限制，保留“形状相似”的属性，利用弱抽象法，就可以获得相似形的概念。

一般地，最先被人们认识的一些较具体、较直观的事物对象，如果其内容结构非常丰富，这时就可以采用弱抽象方法，引入新概念。

一般地说，如果人们认识的事物对象其内容结构形式非常贫乏，、或不够丰富，这时可采用强抽象方法引入新概念。当然，还可以根据与弱抽象思维方式完全相反的特点，用来分析数学概念的层次结构，理解数学知识间的相互关系。例如，在四边形中，增加“两组对便分别平行”这个条件，通过强抽象可得平行四边形的概念；从平行四边形的概念去掉“两组对边分别平行”的限制，有弱抽象便可得到四边形的概念。可见，初等几何中平行四边形的概念在各种四边形的概念中占有中特别重要的地位：它既是对任意四边形、梯形等强抽象的结果，又是另外一些概念如矩形，菱形、正方形等强抽象的出发点。同时，它还是梯形、四边形等弱抽象的出发点。

Answer 2

数学中抽象图形是对点、线、面与图像构成知识的综合表达.