Question

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD与底面ABCD垂直,切PA=PD=根号2/2AD,

若E、F分别为PC、BD的中点
求：（1）EF与面PAD平行
（2）面PDC与面PAD垂直

Answer 1

连结AC，则F是正方形ABCD对角线的交点，E、F分别为PC、BD的中点，则EF是△APC的中位线，EF‖AP，AP∈平面APC，∴EF‖平面APD。
平面PAD与底面ABCD垂直,四边形ABNCD是正方形，CD⊥AD，CD⊥平面APD，CD∈平面PCD，∴平面PDC⊥平面PAD，证毕。可能后面还有问题，很多条件都未用到。

Answer 2

(1)连接AC，因为ABCD是正方形，F为DB的中点,E为PC的中点，所以EF平行PA，有因为EF不包含于面PAD，PA包含于面PAD，所以EF∥平面PAD；
(2)因为ABCD是正方形，所以AD⊥DC，又因为面PAD⊥面ABCD，AD包含于面ABCD，所以DC⊥面PAD，有因为DC包含于面PDC，所以面PDC⊥面PAD
（还有第三问（3）求证面PDC⊥面PAB）

Answer 3

额

Answer 4

(1)
e,f位置没有交代。补充之后再说。
(2)
设g是p在ad上的垂足，则pg⊥abcd（∵pad⊥abcd）。
∵gd⊥dc,∴pd⊥dc（三垂线）,dc‖ab;∴pd⊥ab
显然⊿apd等腰直角，（看三个边长）pd⊥pa.∴pd⊥pab.
pd∈pdc.∴pdc⊥pab