Question

如图，在三角形ABC中，AB=AC,D是BC上任意一点，过D分别向AB引垂线，垂足分别为E,F,CG是AB边上的高线

1，DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以说明；
2，若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由。

Answer 1

第一题：DE+DF=CG。
S三角形ABC=AB*CG/2
连接 AD，
S三角形ABC=S三角形ABD+S三角形ACD
=AB*DE/2+AC*DF/2
=AB*（DE+EF）/2
AB*CG/2 =AB*（DE+EF）/2
DE+DF=CG。

第二题：D在BC的延长线上，CG=DE-DF，
S三角形ABC=AB*CG/2
连接 AD，
S三角形ABC=S三角形ABD-S三角形ACD
=AB*DE/2-AC*DF/2
=AB*（DE-EF）/2
AB*CG/2 =AB*（DE-EF）/2
CG=DE-DF。
同理D在CB的延长线上，CG=DF-DE

Answer 2

1.DE+DF=CG。
S三角形ABC=AB*CG/2
连接 AD，
S三角形ABC=S三角形ABD+S三角形ACD
=AB*DE/2+AC*DF/2
=AB*（DE+EF）/2
AB*CG/2 =AB*（DE+EF）/2
DE+DF=CG。
2.D在BC的延长线上，CG=DE-DF，
S三角形ABC=AB*CG/2
连接 AD，
S三角形ABC=S三角形ABD-S三角形ACD
=AB*DE/2-AC*DF/2
=AB*（DE-EF）/2
AB*CG/2 =AB*（DE-EF）/2
CG=DE-DF。
同理D在CB的延长线上，CG=DF-DE

Answer 3

CG=DE+DF
连接AD,
△ABC的面积等于△ABD与△ADC面积和.
CG*AB/2=DE*AB/2+DF*AC/2(AB=AC)
两边除AB/2,
CG=DE+DF
若在延长线上,不成立,根据延长线的方向不同关系不同,假设向C方向延长,则DE=DF+CG
否则为DF=DE+CG.
理由同(1)(两边延证法相同)
以向C延长为例:
连接AD,
可得△ABD的面积等于△ABC与△ADC面积和
DE,CG,DF分别为三个三角形的高.(计算同(1))

Answer 4

CG=DE+DF
连接AD,
△ABC的面积等于△ABD与△ADC面积和.
CG*AB/2=DE*AB/2+DF*AC/2(AB=AC)
两边除AB/2,
CG=DE+DF
若在延长线上,不成立,根据延长线的方向不同关系不同,假设向C方向延长,则DE=DF+CG
否则为DF=DE+CG.
理由同(1)(两边延证法相同)
以向C延长为例:
连接AD,
可得△ABD的面积等于△ABC与△ADC面积和
DE,CG,DF分别为三个三角形的高.(计算同(1))

Answer 5

第一题：DE+DF=CG。
S三角形ABC=AB*CG/2
连接 AD，
S三角形ABC=S三角形ABD+S三角形ACD
=AB*DE/2+AC*DF/2
=AB*（DE+EF）/2
AB*CG/2 =AB*（DE+EF）/2
DE+DF=CG。

第二题：D在BC的延长线上，CG=DE-DF，
S三角形ABC=AB*CG/2
连接 AD，
S三角形ABC=S三角形ABD-S三角形ACD
=AB*DE/2-AC*DF/2
=AB*（DE-EF）/2
AB*CG/2 =AB*（DE-EF）/2
CG=DE-DF。
同理D在CB的延长线上，CG=DF-DE