Question

已知函数f(x)=(x－1)e∧x

已知函数f(x)=(x－1)e∧x(1)求f(x)的极值
(2)当m≥1/2时，求证:任意x＞0，f(x)＞lnx－m

Answer 1

解:①求导得f′(x)=x·e∧x，令f′(x)=0，x=0
x (-∞，0) 0 (0，+∞) f′(x) - 0 +
f(x) 减 极小值-1 增
故当x=0时，f(x)存在极小值-1，无极大值。

追答

第二问要赋值，具体赋值什么，你一个一个试

证明:②由题意可知:f(x)＞lnx-(m)max=lnx-1/2，令h(x)=f(x)-lnx，只要证h(x)min＞-1/2.下面求导h′(x)=x·e∧x-1/x，令h′(x)=0，此时x=x。 即h′(x。)=0,由导函数正负可知当0＜x＜x。时h(x)单调减，当x＞x。时h(x)单调增，故当x=x。时h(x)取极小值为最小值h(x。).又因为h′(x。)=0所以x。e∧x。=1/x。带入，只要证h(x。)min＞-1/2即可

我们接下来缩小范围，h′(1/2)＜0，h′(1)＞0，于是我们把x。的区间缩小在(1/2，1)，而h(x。)在(1/2，1)单调减，故h(x。)min＞h(1)=0＞-1/2.此题得证

Answer 2

求导就行

追问

能将第二问的具体过程拍照发出来吗？