Question

线性代数中1.为什么要正交化，2.为什么要单位化.具体解释下谢谢

线性代数中1.为什么要正交化，2.为什么要单位化.具体解释下谢谢概念有点模糊，这部分的相关题步骤不太懂

Answer 1

张宇线代讲得很清晰，用坐标系来理解更容易。拿三阶来说就是三个维度为立体，二次型转换相当于将原来的坐标整个以原点为定点转一定角度。然后得到一个新的三维空间坐标系，为了保证坐标轴都垂直对应线代里面的正交化，为了保证新坐标长度不变则要进行单位化。当维数高了就无法用空间理解，但依然可以根据三维来推导理解。谢谢采纳

Answer 2

1.正交化是为了得到一组比较“好用”的基，因为这时候它们的内积为零。
2.单位化也是为了数据处理方便。

Answer 3

研究二次型的正定性时要用到

追问

能具体解释下吗

追答

Answer 4

线性代数的因果逻辑线索放飞得有多远？好多知识点不仅未说科学应用，数学内应用都暂时不谈，难怪我们感到线性代数抽象枯燥。比如线性无关的特征向量为何要正交化、还要单位化？学到《数值分析》才能基本明白。若做适当说明可使普通同学不至于弄得那么迷糊。大家知道，n≥5的高次代数方程无根式解，欲求解只有求数值解。一般方法是将一元n次代数方程系数写成矩阵形式A1，采用A1＝(Q1)(R1)分解，再交换相乘得A2＝(R1)(Q1)，···。反复循环迭代可逐步收敛于特征值，这里特征值即高次方程的解。特别注意: 这里A2＝(R1)(Q1)＝(Q1)^T·(A1)·(Q1)，就是正交相似变换。矩阵(Q1)就是(单位)正交矩阵。这样反复 ( 分解→迭代 ) 即形成矩阵序列 { A1，A2，···，Ak }，最终Ak收敛于上△阵。注意: Ak的上△ 不同于 R的上△，虽然它们都是上△。 Ak＝RQ的上△中对角元为特征值。《数值分析》中求高次方程根、求矩阵特征值，用的就是正交相似变换，正交相似变换当然离不开《正交矩阵》。 正交矩阵拥有很好性态: ①正交矩阵是结构最有序的n维向量空间的 单位正交基。基坐标相对于自然基而言，地位与自然基等价，但自然基表述最简洁。单位正交基可理解为自然基绕原点旋转时随机叫停；②检验n个基正交性时，原矩阵与转置矩阵具备交换律 (Q转)Q＝Q(Q转)＝E(自然基)，与自然基地位对等 (E转)E＝E(E转)＝E；③矩阵正交相似变换保证了相似矩阵序列的特征值不变，所以数值分析中采用正交相似变换的迭代法求矩阵特征值；④因为(Q转)＝(Q逆)，且有(Q逆)Q＝Q(Q逆)＝E。这给求逆带来方便，给证明矩阵定理提供演绎推理方便；⑤正交矩阵具有(准)唯一性。同一实对称矩阵，用不同软件计算正交矩阵，列向量至多相差个－号。⑥正交矩阵不但列归一化，且非常巧合的是行也归一化。∴线代加强《正交矩阵》训练，让同学将线性无关的特征向量矩阵转化为正交阵、或将一个实对称矩阵对应的正交特征向量再来一次单位化。反复做习题强化巩固 ( 正交矩阵＝正交化＋单位化 )，为将来学《数值分析》打基础。你说线性代数的因果逻辑线索放飞远不远？