高数 三角函数 导数 第三题 求解
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令f(x)=sinx+tanx-2x，则f(0)=0
f'(x)=cosx+sec^2x-2
=(cos^3x-2cos^2x+1)/cos^2x
=(cosx-1)(cos^2x-cosx-1)/cos^2x
=(cosx-1)[(cosx-1/2)^2-5/4]/cos^2x
因为0<x<π/2，所以0<cosx<1
cosx-1<0，(cosx-1/2)^2-5/4<0，cos^2x>0
所以f'(x)>0，即f(x)严格单调递增
f(x)>f(0)=0
即sinx+tanx>2x
f'(x)=cosx+sec^2x-2
=(cos^3x-2cos^2x+1)/cos^2x
=(cosx-1)(cos^2x-cosx-1)/cos^2x
=(cosx-1)[(cosx-1/2)^2-5/4]/cos^2x
因为0<x<π/2，所以0<cosx<1
cosx-1<0，(cosx-1/2)^2-5/4<0，cos^2x>0
所以f'(x)>0，即f(x)严格单调递增
f(x)>f(0)=0
即sinx+tanx>2x
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