Question

设xyz为互不相等的正数,求(x+y)/z+(y+z)/x+(z+x)/y大于6

设xyz为互不相等的正数,求(x+y)/z+(y+z)/x+(z+x)/y大于6

Answer 1

记 f(x,y,z)=(x+y)/z+(y+z)/x+(z+x)/y,
令f对x，y，z的偏导数为0,即
f_x=1/z-(y+z)/x^2+1/y
=(x^2y+x^2z-y^2z-z^2y)/(x^2yz)
=0
由x,y,z>0,解得x=y=z.
f_y=0,f_z=0,同样也解得x=y=z.
再由f对x，y，z的二阶偏导数组成的矩阵（Hesse矩阵）在x=y=z为正定矩阵，可见f在x=y=z取极小值。因为x=y=z是f的唯一平衡点，所以极小值就是最小值。于是,
当xyz为互不相等的正数,求(x+y)/z+(y+z)/x+(z+x)/y大于f(x,x,x)=6.

Answer 2

供参考。