Question

判断下列函数在何处可导,在何处解析? f(z)=xy^2+ix^2 y，为什么一定要z=0才可导，不是x^2=y^2就行了吗？

判断下列函数在何处可导,在何处解析? f(z)=xy^2+ix^2 y，为什么一定要z=0才可导，不是x^2=y^2就行了吗？

Answer 1

这两个题其实没有什么好想的，考的就是柯西-黎曼方程。 (1)f(z)=|z|2z=(x^2+y^2)(x+iy)=x(x^2+y^2)+iy(x^2+y^2)，所以u=x(x^2+y^2)，v=y(x^2+y^2)，因此四个偏导数分别为ux=3x^2+y^2,uy=2xy, vx=2xy,vy=x^2+3y^2. 根据柯西-黎曼方程，vx=-uy，得到2xy=-2xy即xy=0，所以x=0或y=0；另外，根据ux=vy得到3x^2+y^2=x^2+3y^2，进而得迟锋到x^2=y^2即x=y或x=-y。根据这两个条件即可得到，f(z)仅在z=0处可导。因此在平面上处处不解析（因为孙源解析就以为在某个小区域内都可导）码凯晌。 (2)u=x^2,v=y^2，所以四个偏导数分别为 ux=2x,uy=0,vx=0,vy=2y 根据柯西-黎曼方程得到x=y。所以f(z)在直线y=x上处处可导。同时因为解析必定是在某个区域上才能存在，因此f(z)在整个平面上处处不解析。解毕。

追问

不是同一个题吧。。

Answer 2

CR方程里y方等于x方第一个条件得到的，态悔第二帆谨正个是负的2xy等于正的2xy
所以晌中综合就是0，0