Question

∫x·|cosx|·sinxdx从0到π上定积分怎么求？

∫x·|cosx|·sinxdx从0到π上定积分怎么求？为什么=π/2∫|cosx|·sinxdx？

Answer 1

定积分直接求法：

∫［0,π］(x-1)sinxdx

=-∫［0,π］(x-1)dcosx

=-∫［0,π］xdcosx-∫［0,π］dcosx

=-xcosx[0,π］-∫［0,π］cosxdx+cosx[0,π］

=-πcosπ－sinx[0,π］+(cosπ－cos0)

＝π＋0+(-1-1)

＝π－2。

上下限换元法：

∫［0,π］(x-1)sinxdx，设x=π－t，

则t=π－x，代入得：

I=∫［0,π］sin(π－t)d(π－t)，

=-∫［π，0]sin(π－t)dt,

＝∫［0,π］sin(π－t)dt

＝∫［0,π］sintdt

＝∫［0,π］(π－t-1)sintdt

＝∫［0,π］sintdt

=(π－2)∫［0,π］sintdt-∫［0,π］(t-1)sintdt

=(π－2)∫［0,π］sintdt-I,则：

2I=(π－2)∫［0,π］sintdt,

I=(1/2)(π－2)∫［0,π］sintdt,

I=-(1/2)(π－2)cost[0,π］,

I=-(1/2)(π－2)(cosπ－cos0)

所以：I=π－2。

Answer 2

如图所示：

Answer 3

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 4

追问

非常感谢您的回答，可惜只能采纳一个答案😛