Question

椭圆区域对1的二重积分是椭圆的周长还是面积？

椭圆区域对1的二重积分是椭圆的周长还是面积？如题（答案给的是周长，但我认为是面积，很纠结！）

Answer 1

应该是面积；面积对应2重积分，弧长对应1重积分；
但是没有看到题目，不知道你具体说的是什么。

追问

就像这一题

追答

1.这一题的ds是弧长参数，ds=(1+y'^2)^(1/2)dx；
积分是一个一重积分，因为弧长是曲线的弧长。
2. 具体计算要注意到xy这一项积分为0，因为它在四个象限有正有负，都消掉了；而剩余部分积分项等于12， 这需要用到椭圆的本身定义，所以答案是12a;
3. 椭圆本身的周长计算需要用到椭圆积分(elliptic integral，具体说是第二类椭圆积分)，是一个超越函数，没法用指数函数，三角函数简单地表示出来。