Question

有复数的积分

Answer 1

方法如下

Answer 2

定义函数F(s)=∫[0,∞]e^(-st)dt,其中s∈C.那麼只要把这个积分算出来(是一个关於s的函数),再令s=i就是所求的积分. 由於被积函数e^(-st)可看成是1*e^(-st),再定义函数f(t)=1,其中t≥0,那麼F(s)=∫[0,∞]f(t)e^(-st)dt 这就是f(t)这个函数的拉普拉斯变换,查表得F(s)=1/s,把s=i代入,得原式=-i 还有另一种方法也可以计算出来,就是直接求原函数,用NL公式. 因为e^(-it)的一个原函数是F(t)=ie^(-it),把t=+∞和0分别代进去. F(+∞)-F(0),由於当t→+∞时,-it→-∞,所以ie^(-it)→0,或者说F(+∞)=0.而F(0)=i,所以结果为0-i=-i,和第一种方法算得的结果相同.