Question

在△ABC中,2cosA(bcosC+ccosB)=a.若cosB=3/5,求sin(B-C)

在△ABC中,2cosA(bcosC+ccosB)=a.若cosB=3/5,求sin(B-C)

Answer 1

根据正弦定理，得：
2cosA(sinBcosC+sinCcosB)=sinA
2cosA•sin(B+C) - sinA=0
2cosA•sin(π-A) - sinA=0
2cosAsinA - sinA=0
sinA(2cosA - 1)=0
∵A是△ABC的内角
∴sinA≠0
∴2cosA - 1=0
2cosA=1
cosA=1/2，则A=π/3
∴sinA=√3/2
∵C=π-A-B
∴sin(B-C)=sin[B-(π-A-B)]=sin(B-π+A+B)
=sin(A+2B-π)=-sin(A+2B)
∵在△ABC中，cosB=3/5
∴sinB=√1 - cos²B=4/5
∴sin2B=2sinBcosB=24/25
cos2B=2cos²B - 1=-7/25
∴-sin(A+2B)=-(sinAcos2B + cosAsin2B)
=-[(√3/2)•(-7/25) + (1/2)•(24/25)]
=(7√3 - 24)/50
即：sin(B-C)=(7√3 - 24)/50

Answer 2

如图