Question

谁来解一下这道定积分

谁来解一下这道定积分第三题

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Answer 1

取 AB、AD 为 x、y 轴建立直角坐标系，
已知 A（0，0），B（2，0），C（2，1）， D（0，1），
设 E（2，y），F（x，1），则 |EF|^2=(x-2)^2+(y-1)^2=1 ，其中 0≤x≤2，0≤y≤1，
设向量 AE*AF=2x+y=t ，
问题转化为直线 2x+y-t=0 与四分之一圆 (x-2)^2+(y-1)^2=1（ 0≤x≤2，0≤y≤1）有公共点，
向左转|向右转

向左转|向右转

由图知，当直线过（2，0）时（也即 E 与 B 重合，F 与 C 重合时），t=2x+y=4 最大。

（还可求出 2x+y 的最小值为 5-√5 ）

Answer 2

(3) S = ∫<下0, 上1>ydx
= ∫<下π/2, 上0>a(sint)^3[3a(cost)^2(-sint)dt]
= 3a^2∫<下0, 上π/2>(sint)^4(cost)^2dt
= 3a^2∫<下0, 上π/2>[(sint)^4-(sint)^6]dt
= 3a^2[(3/4)(1/2)(π/2) - (5/6)(3/4)(1/2)(π/2)]
= 3a^2(1/6)(3/4)(1/2)(π/2) = (3/32)πa^2

追问

怎么知道sin^4x 和sin6x的原函数的？

追答

这里用的瓦利斯公式：
∫(sinx)^ndx = ∫(cosx)^ndx
= [(n-1)/n] [(n-3)/(n-2)] [......](3/4)(1/2)(π/2) n 为偶数
或 = [(n-1)/n] [(n-3)/(n-2)] [......](4/5)(2/3) n ≥ 3, n为奇数 .
若求原函数，一次一次地降幂也可得。

追问

好的谢谢