Question

数学双曲线

Answer 1

双曲线C：x²-y²/8=1；a=1，b=√8=2√2；c=3；

左焦点F₁(-3，0)；右焦点F₂(3，0)；A(0，6√6)；先在左支上求一点P，使∆APF₂的周长最小。

几何作图：连接AF₁，与左支双曲线相交于P，此交点P就是使∆APF₂的周长最小的点。

证明：在∆APF₂中，AF₂是定长，所以下面只需证明 AP+PF₂为最小就可以了。

按双曲线定义：PF₂-PF₁=2a=2，∴PF₂=PF₁+2；∴AP+PF₂=AP+PF₁+2=AF₁+2.

在左支上另取异于P的P₁点，此时AP₁+P₁F₂=AP₁+P₁F₁+2>AF₁+2;  即AP₁+P₁F₂>AP+PF₂;

故证。

下面求P点的坐标：AF₂的斜率k=6√6/3=2√6；故AF₂的方程为y=2(√6)(x+3)；

代入双曲线方程得：x²-3(x+3)²=1,  即有x²+9x+14=(x+2)(x+7)=0，故得x₁=-2，x₂=-7(舍

去);  相应地，y₁=√[8(x₁²-1)]=√[8(4-1)]=√24=2√6；即P(-2，2√6)；

此时∆APF₂的面积S：

【由于网站的原因，我画的图贴过来以后，变得非常之小，根本看不清，故无图。

好在此图很容易画，我已用文字说的很清楚了，清你自己画一下。】

Answer 2

首先运用双曲线性质，转化周长，在根据两点之间线段最短求出P的位置，联立方程求p的坐标，最后运算面积