Question

高数二重积分求解🙏

Answer 1

用直角坐标的话，计算比较难做一点：
∫∫ √(4a² - x² - y²) dxdy
= ∫(- 2a→2a) dx ∫(- √(4a² - x²)→√(4a² - x²)) √(4a² - x² - y²) dy
= 4∫(0→2a) dx ∫(0→√(4a² - x²)) √(4a² - x² - y²) dy、对称性
= ...慢慢积分吧
= 16/3 * πa³ = 144π
==> a = 3
可用极坐标：
∫∫ √(4a² - x² - y²) dxdy
= ∫∫ √(4a² - r²) * r drdθ：0 ≤ θ ≤ 2π、0 ≤ r ≤ 2a
= 2π(- 1/2)∫ √(4a² - r²) d(4a² - r²)
= - π * (2/3)(4a² - r²)^(3/2)：0 ≤ r ≤ 2a
= - π * (2/3)(0) + π * (2/3)(4a²)^(3/2)
= π * 2/3 * 8a³
于是16/3 * πa³ = 144π
a³ = 27
得a = 3
注意a是圆的半径其中一部分，其值必定大于等于0
0