Question

设a是n维欧式空间V的一个变换,证明:如果σ保持内积不变,即 对任意的a,BeV,<0(a)(B)

Answer 1

18题证明
所谓正交变换，就是要求
1、是线性变换；
2、保持内积不变。
现已知该变换保持内积不变，故只需证明它是线性变换就可以了。
证明
设A是欧氏空间V的一个变换 且保持内积不变 则
对任意的a,b属于V，有
（A(a+b)-Aa-Ab,(a+b)-Aa-Ab)
=(A(a+b),(A(a+b))+(Aa,Aa)+(Ab,Ab)-2(A(a+b),Ab)+2(A(a+b),Ab)+2(Aa,Ab)
=(a+b,a+b)+(a,a)+(b,b)-2(a+b,a)-2(a+b,b)+2(a,b)=0
所以
A(a+b)-Aa-Ab=0
即A(a+b)=Aa+Ab
即A保持加法。
类似的，利用
(A(ka)-kA(a),(A(ka)-kA(a))=0
可推出保持数乘。
所以A为线性变换。
从而为正交变换。