Question

设V为n维欧式空间，σ是V上的线性变换，如果σ即是正交变换，又是对称变换 证明:σ是V上的恒等变换

设V为n维欧式空间，σ是V上的线性变换，如果σ即是正交变换，又是对称变换
证明:σ是V上的恒等变换求大神解答，特别急

Answer 1

证明:(1) 当β=0时
因为 |Aα| = |α|
所以 (Aα,Aα)^2 = (α,α)^2
所以 (Aα,Aα) = (α,α)
(2) 因为 对任意的α,β∈V,|Aα-Aβ|=|α-β|
所以有 (Aα-Aβ,Aα-Aβ) = (α-β,α-β)
所以 (Aα,Aα)-2(Aα,Aβ)+(Aβ,Aβ) = (α,α)-2(α,β)+(β,β)
由(1)得 (Aα,Aβ) = (α,β).
所以 A是正交变换.