Question

设σ是欧式空间V的一个线性变换,证明:如果σ是正交变换,那么σ保持任意两个向量的夹角不变，反之不然。

Answer 1

正交变换满足 σ^Tσ是恒等映射。因此对任意的两个非零向量a，b，有
<σa，σb>=<a，σ^Tσb>=<a，b>，即正交变换保持内积不变，因此
||a||^2=<σa，σa>=<a，a>。长度不变。于是a与b的夹角cos(theta)
=<a，b>/【||a||*||b||】在正交变换下是不变的。
反之，考虑伸长变换即可。
比如σa=2a，保持夹角不变，但不是正交变换。