Question

设函数f(x)=x²+|x-2|-1 （1）判断函数f(x)的奇偶性。（2）求函数f(x)的最小值

Answer 1

解：(1)f(-x)=（-x）²+|-x-2|-1=x²+|x+2|-1≠f(x)，
且 f(-x)≠-f(x)，
∴f(x)是非奇非偶函数；
(2)①x≥2时，f(x)=x²+x-3，f'(x)=2x+1，令f'(x)=0，有x=-1/2＜2，
而x≥2时f'(x)＞0，∴f(x)min=f(2)=3；
②x＜2时，f(x)=x²-x+1，f'(x)=2x-1，令f'(x)=0，有x=1/2，
而1/2＜x＜2时f'(x)＞0，x＜0.5时f'(x)＜0，
∴f(x)min=f(1/2)=3/4；
综上所述，f(x)min=f(1/2)=3/4。

Answer 2

（1）当x=2时，f(x)=3；x=-2时，f(x)=7。即不满足f(x)=f(-x)，也不满足f(-x)=-f(x)，所以既不是奇函数，也不是偶函数。

当：x≥2时，f(x)=x²+x-3,f(x)(min)=f(2)=3;
当：x<2时,f(x)=x²-x+1,f(x)(min)=f(1/2)=3/4;
∴f(x)(min)=f(1/2)=3/4.