Question

设函数fx=x^2+|x-a|+1,(x∈R)，(1)判断函数f(x)的奇偶性。(2)求函数f(x)的最小值

Answer 1

解：(1)函数分为：f（x)=x²+x-a+1(x>=a) f(x)=x²-x+a+1(x<a) 都开口向上，不可能关于原点对称，也就是说不是奇函数。也不是偶函数，因为偶函数关于Y轴对称，这样二次函数是y=bx²型才是偶函数，所以这里的函数不是偶函数。
非奇非偶。
(2)取两个分函数的顶点纵坐标最小值。即3/4-a与3/4+a比较。
当a=0时，最小值是3/4
当a<0时，最小值是3/4+a
当a>0时，最小值是3/4-a

Answer 2

(1)当a=0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)既不是偶函数，也不是奇函数。
(2)①当x≥a时，f(x)=x^2+x+1-a=(x+1/2)^2+3/4-a
当a≤-1/2时，f(x)min=3/4-a
当a＞-1/2时，f(x)min=f(a)=a^2+1
②当x≤a时，f(x)=x^2-x+1+a=(x-1/2)^2+3/4+a
当a≥1/2时，f(x)min=3/4-a
当a＜1/2时，f(x)min=f(a)=a^2+1
∴综上所述，当-1/2≤a≤1/2时，f(x)min=a^2+1
当a≤-1/2或a≥1/2时，f(x)min=3/4-a

Answer 3

解：当a=0时，f(x)为偶函数，当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数。
（2）当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1，若a≤-½，f(x)的最小值=f(-½)=3/4-a
若a≥-½,f(x)的最小值=f(a)=a^2+1
当x≤a时，函数f(x)=x2-x+a+1，若a≤½，f(x)的最小值=f(a)=a^2+1，若a≥½,f(x)的最小值=f(½)=3/4+a.