设x~N(0，1).求Y=X²的密度函数 的详细过程，谢谢！ 10
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X的概率密度函数：f_X(x)=1/√(2π)·e^(-x^2/2)
y≤0时，F_Y(y)=P{Y<y}=P{X^2<y}=0
f_Y(y)=0
y>0时，F_Y(y)=P{Y<y}=P{X^2<y}=P{-√y<X<√y}=F_X(√y) - F_X(-√y)
f_Y(y)=F'_Y(y)=F'_X(√y) - F'_X(-√y)=f_X(√y)*[1/(2√y)] - f_X(-√y)*[-1/(2√y)]
=1/(2√y)*[f_X(√y) + f_X(-√y)]=1/(2√y)*{1/√(2π)·e^[-(√y)^2/2]+1/√(2π)·e^[-(-√y)^2/2]}
=1/(2√y)*2*1/√(2π)*e^(-y/2)=1/√(2πy)*e^(-y/2)
综上：Y的概率密度函数f_Y(y)=
｛0, y≤0
｛1/√(2πy)*e^(-y/2), y>0
y≤0时，F_Y(y)=P{Y<y}=P{X^2<y}=0
f_Y(y)=0
y>0时，F_Y(y)=P{Y<y}=P{X^2<y}=P{-√y<X<√y}=F_X(√y) - F_X(-√y)
f_Y(y)=F'_Y(y)=F'_X(√y) - F'_X(-√y)=f_X(√y)*[1/(2√y)] - f_X(-√y)*[-1/(2√y)]
=1/(2√y)*[f_X(√y) + f_X(-√y)]=1/(2√y)*{1/√(2π)·e^[-(√y)^2/2]+1/√(2π)·e^[-(-√y)^2/2]}
=1/(2√y)*2*1/√(2π)*e^(-y/2)=1/√(2πy)*e^(-y/2)
综上：Y的概率密度函数f_Y(y)=
｛0, y≤0
｛1/√(2πy)*e^(-y/2), y>0
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