Question

正四面体的外接球半径怎么求？

Answer 1

设正四面体为p-abc，棱长为1，作高ph，h是正△abc的外心（内、重、垂），
连结ah交bc于d，
ad=√3/2，ah=2ad/3=√3/3，（重心性质），
ph=√（pa^2-ah^2)=√6/3，
设外接球心为o，外接球半径为r，
oh^2+ah^2=r^2，
（√6/3-r)^2+（√3/3）^2=r^2,
∴r=√6/4，
设内切球心为o1，内切球半径为r,连结o1p、o1a、o1b、o1c，
正四面体分成4个小棱锥，其高为内切球的半径r,设每个正三角形面积为s，
则总体积v=4*(r*s/3)=4rs/3,
vp-abc=s*ph/3=（√6/3）s/3=√6s/9，
4rs/3=√6s/9，
r=√6/12，
r+r=√6/4+√6/12）=√6/3，
ph=√6/3，
∴ph=r+r,且外接球心和内切球心为同一心。

Answer 2

你把正四面体补成正方体，由此可知，正四面体的棱长就是正方体的面对角线，而正四面体的球心也就是正方体的球心，从而把问题转化为正四面体的外接球的半径就是正方体的体对角线的一半。
如图，