Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0），过点P（1，3/2

Answer 1

（1）由题意，以原点为圆心，椭圆c的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，∴b=
2
2
=
2
．
因为离心率e=
c
a
=
3
2
，所以
b
a
=
1
2
，所以a=2
2
．
所以椭圆c的方程为
x
2
8
+
y
2
2
=1
．
（2）证明：由题意可设m，n的坐标分别为（x
0
，y
0
），（-x
0
，y
0
），则直线pm的方程为y=
y
0
-1
x
0
x+1，①
直线qn的方程为y=
y
0
-2
-x
0
x+2．②…（8分）
设t（x，y），联立①②解得x
0
=
x
2y-3
，y
0
=
3y-4
2y-3
．…（11分）
因为
x
0
2
8
+
y
0
2
2
=1
，所以
1
8
（
x
2y-3
）
2
+
1
2
（
3y-4
2y-3
）
2
=1．
整理得
x
2
8
+
(3y-4)
2
2
=（2y-3）
2
，所以
x
2
8
+
9y
2
2
-12y+8=4y
2
-12y+9，即
x
2
8
+
y
2
2
=1
．
所以点t坐标满足椭圆c的方程，即点t在椭圆c上．…（14分）

Answer 2

(1)
椭圆
e
=
1/2,
则
a
=
2c,
a^2
=
4c^2
=
4(a^2-b^2),
得
3a^2
=
4b^2
椭圆过点
P(1，3/2),
则
1/a^2
+
9/(4b^2)
=
1，
于是
1/a^2
+
9/(3a^2)
=
1，
得
a
=
2，
b
=
√3，
椭圆方程撒是
x^2/4
+
y^2/3
=
1.
(2)
椭圆C的右焦点
F(1,
0),
设直线
L
斜率为
k，
则直线
L方程是
y
=
k(x-1),
代入
x^2/4
+
y^2/3
=
1，
得
3x^2+4k^(x-1)^2
=
12,
即
(3+4k^2)x^2-8k^2x+(4k^2-12)
=
0
解得
x
=
[4k^2±6√(1+k^2)]/(3+4k^2),
y
=
k(x-1)
=
k[-3±6√(1+k^2)]/(3+4k^2)
AP
斜率
{2k[-3+6√(1+k^2)]-3(3+4k^2)}
/
{2[-3+6√(1+k^2)]}
BP
斜率
{2k[-3-6√(1+k^2)]-3(3+4k^2)}
/
{2[-3-6√(1+k^2)]}
太复杂了