Question

求证椭圆上任意一点,过此点作二条直线互相垂直且交椭圆与二点，这二点的连线过定点

Answer 1

不好意思，打错了
证明过程实在是太长了，不好打。
这二点的连线过定点
横坐标[(a^2-b^2)/(a^2+b^2)]x0
纵坐标[(b^2-a^2)/(a^2+b^2)]y0
其中（x0,y0）是椭圆上任意一点的坐标。
楼主加点分我给你过程。太长了，我有一个PDF格式的文件，里面证明了所有的圆锥曲线都有这样的性质，恒过一定点
我Q
3
2
7
5
5
2
3
9
0
不一定在线

Answer 2

令椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）
令椭圆上一点为p(x0,y0)。过点p作pa⊥pb，交椭圆于a(x1,y1)、b(x2,y2)
令ab所在直线为y=kx+m（假设ab所在直线的斜率存在）
由斜率公式有
kpa=(y1-y0)/(x1-x0)（此时x1≠x0，即pa不垂直于x轴）
kpb=(y2-y0)/(x2-x0)（此时x2≠x0，即pb不垂直于x轴）
因pa⊥pb，则有kpa·kpb=-1
即有(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0
即有[x1x2-(x1+x2)x0+x0^2]+[y1y2-(y1+y2)y0+y0^2]=0（i）
联立直线ab与椭圆方程有(b^2+k^2a^2)x^2+2kma^2x+(m^2a^2-a^2b^2)=0
由韦达定理有
x1+x2=-2kma^2/(b^2+k^2a^2)（ii）
x1x2=(m^2a^2-a^2b^2)/(b^2+k^2a^2)（iii）
又a、b都在直线ab上，则有
y1=kx1+m
y2=kx2+m
两式相加并结合（ii）得
y1+y2=k(x1+x2)+2m=2mb^2/(b^2+k^2a^2)（iv）
两式相乘并结合（ii）（iii）得
y1y2=k^2x1x2+km(x1+x2)+m^2=(m^2b^2-k^2a^2b^2)/(b^2+k^2a^2)（v）
将（ii）~（v）代入（i）有
a^2[(kx0+m)^2+b^2(x0^2/a^2-1)]+b^2[(y0-m)^2+k^2a^2(y0^2/b^2-1)]=0
注意到p在椭圆上，则x0^2/a^2+y0^2/b^2=1
即有x0^2/a^2-1=-y0^2/b^2
y0^2/b^2-1=-x0^2/a^2
于是有a^2[(kx0+m)^2-y0^2]+b^2[(y0-m)^2-k^2x0^2]=0
即有a^2(kx0+m-y0)(kx0+m+y0)+b^2(y0-m-kx0)(y0-m+kx0)=0
即有a^2(kx0+m-y0)(kx0+m+y0)=b^2(kx0+m-y0)(y0-m+kx0)
因p不在直线ab上，则kx0+m-y0≠0
所以有a^2(kx0+m+y0)=b^2(y0-m+kx0)
整理得m=(b^2-a^2)(kx0+y0)/(a^2+b^2)
代入直线ab得
y=kx+m=kx+(b^2-a^2)(kx0+y0)/(a^2+b^2)
即有y-(b^2-a^2)y0/(a^2+b^2)=k[x-(a^2-b^2)x0/(a^2+b^2)]
表明直线ab过定点（(a^2-b^2)x0/(a^2+b^2)，(b^2-a^2)y0/(a^2+b^2)）
以下还需要验证两个特殊情形：
（1）若直线pa与pb有一条直线垂直于x轴时，即kpa或kpb斜率不存在时，此时ab仍过定点（(a^2-b^2)x0/(a^2+b^2)，(b^2-a^2)y0/(a^2+b^2)）
证明：令pa垂直于x轴，则pb平行于x轴
由椭圆的对称性易知a(x0,-y0)，b(-x0,y0)
由两点式有直线ab：y-y0=[(y0+y0)/(-x0-x0)](x+x0)
即y=-(y0/x0)x
显然(b^2-a^2)y0/(a^2+b^2)=-(y0/x0)[(a^2-b^2)x0/(a^2+b^2)]
即ab过定点
（2）若直线ab垂直于x轴，即ab的斜率不存在，此时ab仍过定点（(a^2-b^2)x0/(a^2+b^2)，(b^2-a^2)y0/(a^2+b^2)）
证明：令直线ab为x=m（显然-a
评论
0
0
加载更多