Question

如图,在△ABC中,分别作∠BAC,∠ABC的平分线,交点为P.过点P分别作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分别为D,E,F.

Answer 1

证明：
1、
∵AP平分PE⊥BC
BAC，PD⊥AB，PF⊥AC
∴PF＝PD
（角平分线性质）
∵BP平分∠ABC，PD⊥AB，PE⊥BC
∴PE＝PD
（角平分线性质）
∴PE＝PF
2、
∵PF⊥AC，PE⊥BC
∴∠CEP＝∠CFP＝90
∵PE＝PF，PC＝PC
∴△CEP≌△CFP
（HL）
∴∠ACP＝∠BCP
∴CP平分∠ACB
3、
∵PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC
∴S△ABP＝AB×PD/2，S△ACP＝AC×PF/2，S△BCP＝BC×PE/2
∵S＝S△ABP+
S△ACP+
S△BCP
∴S＝AB×PD/2+
AC×PF/2+
BC×PE/2
＝（AB+AC+BC）×PD/2
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