Question

求tanβ的最大值

Answer 1

解：
∵α、β∈(0，π/2)，tanα>0，
且sinβ=2cos(α+β)sinα，
∴sinβ=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα
=2cos(α+β)sinα，
而α+β≠π/2→cos(α+β)≠0，
故上式两边除以cos(α+β)cosα，得
tan(α+β)=3tanα
∴tanβ=tan[(α+β)-α]
=[tan(α+β)-tanα]/[1+tan(α+β)tanα]
=2tanα/[1+3(tanα)^2]
≥2tanα/(2√3tanα)(均值不等式)
=√3/3.
而y=tanx在(0，π/2)上递增，
∴tanβ的最大值为√3/3，
此时，β=π/6。
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