Question

f(x)在x=0处可导，则f'(x)在x=0处一定连续吗

Answer 1

考研数学上遇到类似的问题，现在明白了。
第一句：f(x)在x=0处可导，由导数定义知，f'+(0)=f'-(0)，也就是在x=0处的左右导数相等。
第二句：f'(x)在x=0处连续，由连续的定义知，f'+(0)=f'-(0)=f'(0)，相当于把导函数看成普通函数，在x=0处的左极限=右极限=这个点的函数值。
这两者都是导函数的左右极限相等，但是前者不管导函数在x=0处存不存在，后者是导函数在x=0处一定存在且与左右极限相等。
通常用分段函数举反例：
f(x)=x²sin(1/x)
x≠0
,
f(x)=0
x=0，
这样，f(x)在x=0处连续，且f(x)在x=0处的导数为
f'(0)=0，而导函数f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)
中，f'+(0)与f'-(0)不存在，所以f(x)在x=0处可导。但是f'(x)在x=0处不连续。
综上：f(x)在x=0处可导，f'(x)在x=0处不一定连续。

Answer 2

可导一定连续
证明：
函数f(x)在x0处可导，f(x)在x0临域有定义，
对于任意小的ε>0，存在⊿x=1/[2f’(x0)]>0，使：
-ε<[f(x0+⊿x)-f(x0)<ε
这可从导数定义推出

Answer 3

不一定
经典反例f(x)=x^2sin(1/x)，定义f(0)=0。
f'(0)=0，
当x趋于0时
f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)极限不存在。

Answer 4

大佬们，是不是这种意思，导函数连续要求，f'(0-)=f'(0+)=f'(0)（f'(0)也就是导函数在这点的定义)，而函数在此点可导，只要求f'(0-)=f'(0+)即可，因此二者并无联系。