Question

f(x)=sin²x+√3sinxcosx在区间[π/4,π/2]上的最大值是? 求过程

Answer 1

f(x)=sin²x+√3sinxcosx
=-cos²x+1+√3/2*2sinxcosx
=-(2cos²x-1-1)/2+√3/2sin2x
=1/2-1/2cos2x+√3/2sin2x
=√3/2sin2x-1/2cos2x+1/2
=sin(2x-π/6)+1/2
在(-π/2，π/2)的增区间为
-π/2≤2x-π/6≤π/2
-π/6≤x≤π/3
所以[π/4,π/2]上的最大值是x=π/3时，f(x)max=3/2
注：π/3之前是递增的，之后的是递减的，所以π/3最大

Answer 2

将函数降次得：f(x)=(1-cos2x)/2+√3sin2x/2=1/2+3sin2x/2-cos2x/2=sin(2x-π/6)+1/2
又：x∈[π／4，π／2]，则（2x-π/6）∈[π／3，5π／6]，在此区间，（2x-π/6）取5π／6时，
f(x)最小，此时sin(2x-π/6)值为1/2，所以所求最小值为1。