Question

数学题，怎么求当n趋向于无穷大时1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)的极限呀

Answer 1

楼主这道题出得很好！我想了一遍，深受启发。
令S(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)，n∈N
有S(n)-S(n-1)=1/(2n-1)-1/(2n)
于是可构造另外一个序列：a(n)=1/(2n-1)-1/(2n)，其和也为S(n)
那么S(n)=∑a(n)=1-1/2+1/3-1/4+…+1/(2n-1)-1/(2n)
n→∞时，这是一个无穷级数
关于此级数的和，我在参考资料中解答过，现copy如下：
设定义在(-1,1]上的函数f(x)=x-(1/2)*x^2+(1/3)*x^3-(1/4)*x^4+
…
两边对x求导得：f'(x)=1-x+x^2-x^3+
…
注意到当-1<x<1时，有f'(x)+x*f'(x)=1，所以有
f'(x)=1/(1+x),(-1<x<1)，且f(0)=0
解上述微分方程得：f(x)=ln(1+x),(-1<x<1)
易证f(1)所表示的无穷级数是收敛的，考虑到f(x)的连续性，有
f(1)=lim(x趋于1)(ln(1+x))=ln2

Answer 2

极限是ln2
，an=1+1/2+1/3+...1/n亦被称为调和数列在n趋向无穷时有个等于ln(n)+c
，c是一固定常数，你所求的可以写为a2n-an=ln（2n）-ln（n）=ln2

Answer 3

楼主这道题出得很好！我想了一遍，深受启发。
令S(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)，n∈N
有S(n)-S(n-1)=1/(2n-1)-1/(2n)
于是可构造另外一个序列：a(n)=1/(2n-1)-1/(2n)，其和也为S(n)
那么S(n)=∑a(n)=1-1/2+1/3-1/4+…+1/(2n-1)-1/(2n)
n→∞时，这是一个无穷级数
关于此级数的和，我在参考资料中解答过，现copy如下：
设定义在(-1,1]上的函数f(x)=x-(1/2)*x^2+(1/3)*x^3-(1/4)*x^4+
…
两边对x求导得：f'(x)=1-x+x^2-x^3+
…
注意到当-1<x<1时，有f'(x)+x*f'(x)=1，所以有
f'(x)=1/(1+x),(-1<x<1)，且f(0)=0
解上述微分方程得：f(x)=ln(1+x),(-1<x<1)
易证f(1)所表示的无穷级数是收敛的，考虑到f(x)的连续性，有
f(1)=lim(x趋于1)(ln(1+x))=ln2