Question

已知：如图，在菱形ABCD中，点F为BC的中点，DF与对角线AC交与点M，过点M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2。

Answer 1

解：⑴∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，
∴∠MCD=∠1，
∵∠1=∠2，∴∠MCD=∠2，
∴MC=MD，
∵ME⊥CD，
∴CE=DE=1/2CD=1/2BC，
∴BC=2CE=2。
⑵证明：连接BD交AC于O，∵ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AO=CO，
∵AB=BC，∴∠BCD=∠1，
∴∠MCE=∠MCF，
∵CE=CF=1/2BC，CM=CM，
∴ΔMCE≌ΔMCF，
∴∠CFM=∠CEM=90°，
∴DF垂直平分BC，∴BD=CD=BC，
∴ΔDBC是等边三角形，
∴CO=BF(等边三角形的高相等)，
∴AO=BF，
又
∠2=∠MDO=30°，
∴ME=MO，
∴AM=AO+MO=DF+ME。

Answer 2

am=df+me
证：∵ag平行于cd
∴∠g=∠2
∠1=∠acd
∠gbf=∠dcf
∵∠1=∠2
∴∠1＝∠g
∠acd=∠2
∴mg=ma
mc=md
∵me⊥cd
∴ce=de=二分之一cd=二分之一cb
∵f为cb的中点
∴cf=二分之一cb=ce
∵∠acb=∠acd
cm为△mfc与△mec的公共边
cf=ce
∴△mfc全等于△mec
∴me=mf
∵∠gfb=∠cfd
∠gbf=∠dcf
cf=bf
∴△gbf全等于△dcf
∴df=gf
∴df+me=gf+me=gf+mf=gm=am
∴df+me=am