Question

求下列极限 lim（n→∞）∑(上n 下i=1) （i-1/n）^2*1/n 求详细步骤~~~谢谢了

Answer 1

当n→∞时，π/(√(n^2+i))→0。又x→0时，sinx→x。所以：上式的极限可写为：
i=lim（n→∞）∑(上n
下i=1)
sin[π/(√(n^2+i))]
=lim（n→∞）∑(上n
下i=1)
[π/(√(n^2+i))]
=lim（n→∞）∑(上n
下i=1)
[π/(√(1+i/n^2))](1/n)
令x=i/n,dx=1/n,上面求和式的极限可转化为下列积分：
i=(上限1
下限0),
π∫[1/√(1+x/n)]dx,
lim（n→∞）
=(上限1
下限0),
[2nπ√(1+x/n)],lim（n→∞）
=lim（n→∞),
2nπ[√(1+1/n)-1]
=lim（n→∞),
2π[√(1+1/n)-1]/(1/n)
=lim（n→∞),
2π[(1+1/n)-1]/[(1/n)(√(1+1/n)+1)]
=lim（n→∞),
2π(1/n)/(2/n)
=π