Question

如何证明数列X1=2，Xn+1=1/2（Xn+1/Xn）的极限存在？说个思路也可以。。谢谢、

Answer 1

先用数学归纳法证明对一切
n∈
N*
，都有
Xn＞1
然后，在原始等式中，两边同时减去Xn，右侧通分，
得到
X(n+1)－Xn＝(1－Xn)(1＋Xn)
/
2Xn
由于第一步已经证明了Xn＞1，那么等式右边的三个因子，有两个是正的，有一个是负的，
所以右边＜0，那么左边也＜0，也就是
X(n+1)－Xn＜0，即X(n+1)＜Xn
这说明它单调递减，
而前面已经证明了
Xn＞1
说明它有下界
那么，Xn的极限存在。令lim
Xn＝A，则
lim
X(n＋1)也为A，
等式两边同时取极限，解一个关于A的方程，就可以求出极限A，如果有多个解，根据极限的保号性，应取正值

Answer 2

简单说明一下即可，答案如图所示

Answer 3

x（n+1）=1/2*(xn+1/xn)>=1/2*2=1
xn=1时取等号
即xn是大于等于1的数
2（x（n+1）-xn）=2x（n+1）-2xn=xn+1/xn-2xn
=(1-xn^2)/xn
<=(1-1)/xn=0
即
xn是单调递减数列
又是有界数列
则极限存在
且极限就是1

Answer 4

因为有
Xn>0
显然成立
所以，
X(n+1)=1/2*(Xn+1/Xn)≥(1/2)*2=1
又
X(n+1)-Xn=(1/2)*(1/Xn
-
Xn)<0
所以，
X(n+1)
评论
0
0
0
加载更多