Question

如何证明数列X1=2，Xn+1=1/2（Xn+1/Xn）的极限存在？说个思路也可以。。谢谢、

Answer 1

先用数学归纳法证明对一切 n∈ N* ，都有 Xn＞1
然后，在原始等式中，两边同时减去Xn，右侧通分，
得到 X(n+1)－Xn＝(1－Xn)(1＋Xn) / 2Xn
由于第一步已经证明了Xn＞1，那么等式右边的三个因子，有两个是正的，有一个是负的，
所以右边＜0，那么左边也＜0，也就是 X(n+1)－Xn＜0，即X(n+1)＜Xn 这说明它单调递减，
而前面已经证明了 Xn＞1 说明它有下界
那么，Xn的极限存在。令lim Xn＝A，则 lim X(n＋1)也为A， 等式两边同时取极限，解一个关于A的方程，就可以求出极限A，如果有多个解，根据极限的保号性，应取正值

Answer 2

因为有 Xn>0 显然成立
所以，
X(n+1)=1/2*(Xn+1/Xn)≥(1/2)*2=1

又 X(n+1)-Xn=(1/2)*(1/Xn - Xn)<0
所以，
X(n+1)<Xn

所以，
Xn递减且Xn有下限为1
所以，
Xn的极限存在

Answer 3

解：因为x(n+1)＝1/2(xn+1/xn)≥1，所以x(n+1)－xn＝1/2(xn+1/xn)－xn＝1/2(1/xn－xn)≤0，即数列xn单调递减，且有下界，故xn有极限