Question

x+y=1求(x+1/x)(y+1/y)的最小值

Answer 1

直接用柯西不等式就行，答案如图所示

Answer 2

其实题目是有问题的，可能你没打出来，有条件x和y都大于0
解：1/x+1/y
=(1/x+1/y)*(x+y)/2,(因为x+y=2)
=1+1/2(y/x+x/y)
x>0,y>0
所以y/x>0,x/y>0
由均值不等式
x/y+y/x≥2根号(x/y*y/x)=2
当x/y=y/x时取等号
x^2=y^2
x=y,x+y=2即x=y=1时取等号
所以1+1/2(x/y+y/x)≥1+1=2
所以1/x+1/y最小值为2

Answer 3

(x
+
1/x)
*
(y
+
1/y)
=
[(x^2
+
1)/x]
*
[(y^2
+
1)/y]
=
[x^2
+
y^2
+
(xy)^2
+
1]/xy
=
[(x+y)^2
-
2xy
+
(xy)^2
+
1]/xy
将x+y=1代入：
=
[(1
-
2xy
+
(xy)^2
+
1]/xy
=
xy
+
2/(xy)
-
2
由于x+y
≥
2√xy，则
0
＜
xy
≤1/4
对于对钩函数xy
+
2/(xy)，拐点是√2
>1/4
所以xy
=
1/4时取最小值
即原式
=
1/4
+
8
-2
=
25/4
希望我的回答对你有所帮助~
http://zhidao.baidu.com/link?url=J8fBMMPvrpnQ8KanMfCKcqEwE1QLZt3Y-tIUjLlnC2K5qhh8JVAPXJ48eL2qw_uOxRVEkg2rm6ztA_grQZaV_q

Answer 4

(x
+
1/x)
*
(y
+
1/y)
=
[(x^2
+
1)/x]
*
[(y^2
+
1)/y]
=
[x^2
+
y^2
+
(xy)^2
+
1]/xy
=
[(x+y)^2
-
2xy
+
(xy)^2
+
1]/xy
将x+y=1代入：
=
[(1
-
2xy
+
(xy)^2
+
1]/xy
=
xy
+
2/(xy)
-
2
由于x+y
≥
2√xy，则
0
＜
xy
≤1/4
对于对钩函数xy
+
2/(xy)，拐点是√2
>1/4
所以xy
=
1/4时取最小值
即原式
=
1/4
+
8
-2
=
25/4