Question

求一个不定积分 ∫1／(1+x^2+x^4)dx

Answer 1

这是个技巧比较高的积分，不是楼上答得那么简单的
∫
x²/(1+x⁴)
dx
=(1/2)∫
(x²-1+x²+1)/(1+x⁴)
dx
=(1/2)∫
(x²-1)/(1+x⁴)
dx
+
(1/2)∫
(x²+1)/(1+x⁴)
dx
分子分母同除以x²
=(1/2)∫
(1-1/x²)/(x²+1/x²)
dx
+
(1/2)∫
(1+1/x²)/(x²+1/x²)
dx
分子放到微分之后，然后分母凑个2出来
=(1/2)∫
1/(x²+1/x²+2-2)
d(x+1/x)
+
(1/2)∫
1/(x²+1/x²-2+2)
d(x-1/x)
=(1/2)∫
1/[(x+1/x)²-2]
d(x+1/x)
+
(1/2)∫
1/[(x-1/x)²+2]
d(x-1/x)
=(√2/8)ln|(x+1/x-√2)/(x+1/x+√2)|
+
(√2/4)arctan[(x-1/x)/√2]
+
c
=(√2/8)ln|(x²+1-√2x)/(x²+1+√2x)|
+
(√2/4)arctan[(x-1/x)/√2]
+
c
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Answer 2

本题可不用复数来解，不过技巧比较高，非常规题。
∫1／(1+x^2+x^4)dx
=(1/2)∫(1-x²+1+x²)／(1+x^2+x^4)dx
=(1/2)∫(1-x²)／(1+x^2+x^4)dx+(1/2)∫(1+x²)／(1+x^2+x^4)dx
分子分母同除以x²
=(1/2)∫(1/x²-1)／(1/x²+1+x²)dx+(1/2)∫(1/x²+1)／(1/x²+1+x²)dx
将分子放到微分之后
=-(1/2)∫1／(1/x²+1+x²)d(x+1/x)+(1/2)∫1／(1/x²+1+x²)d(x-1/x)
分母配方
=-(1/2)∫
1/[(x+1/x)²-1]d(x+1/x)+(1/2)∫1/[(x-1/x)²+3]d(x-1/x)
两项均可套公式直接积出了
=-(1/4)ln|(x+1/x-1)/(x+1/x+1)|+(1/(2√3))arctan[(x-1/x)/√3]+C