设f(x)在[0,1]上连续，且f（0）=f(1) 证明；一定存在Xo∈[0,1/2],使得f(Xo)=f(Xo+1/2)
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简单计算一下即可，详情如图所示
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考虑函数F(x)=f(x)-f(x+1/2)
x∈[0,1/2]
F(0)=f(0)-f(1/2)
F(1/2)=f(1/2)-f(1)=f(1/2)-f(0)
1.若f(0)=f(1/2),存在Xo=0∈[0,1/2],使得f(Xo)=f(Xo+1/2)
2.若f(0)≠f(1/2),由F(0)*F(1/2)=-[f(0)-f(1/2)]²<0
存在Xo∈(0,1/2),使得F(X0)=0
亦即
f(Xo)=f(Xo+1/2)
综上，一定存在Xo∈[0,1/2],使得f(Xo)=f(Xo+1/2)
x∈[0,1/2]
F(0)=f(0)-f(1/2)
F(1/2)=f(1/2)-f(1)=f(1/2)-f(0)
1.若f(0)=f(1/2),存在Xo=0∈[0,1/2],使得f(Xo)=f(Xo+1/2)
2.若f(0)≠f(1/2),由F(0)*F(1/2)=-[f(0)-f(1/2)]²<0
存在Xo∈(0,1/2),使得F(X0)=0
亦即
f(Xo)=f(Xo+1/2)
综上，一定存在Xo∈[0,1/2],使得f(Xo)=f(Xo+1/2)
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