Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx在x=-23与x=1处都取得极值．（1）求函...

已知函数f（x）=x3+ax2+bx在x=-23与x=1处都取得极值． （1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）在区间[-2，2]的最大值与最小值．

Answer 1

解：（1）f（x）=x3+ax2+bx，f′（x）=3x2+2ax+b
由f′（-
2
3
）=
12
9
-
4
3
a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0
得a=-
1
2
，b=-2
经检验，a=-
1
2
，b=-2符合题意
所以，所求的函数解析式为f(x)=x3-
1
2
x2-2x
（2）由（1）得f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），
列表
x
（-2，-
2
3
）
-
2
3
（-
2
3
，1）
1
（1，2）
f′（x）
+
0
-
0
+
f（x）
↑
极大值
↓
极小值
↑
且f(-2)=-6，f(-
2
3
)=
22
27
，f(1)=-
3
2
，f(0)=0，f(2)=2，f(-2)=-6所以当x∈[-2，2]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（-2）=-6