Question

已知函数f（x）=log2（1+x）+alog2（1-x）（a∈R）．（1）若f...

已知函数f（x）=log2（1+x）+alog2（1-x）（a∈R）． （1）若f（x）关于原点对称，求a的值； （2）在（1）下，解关于x的不等式f-1（x）＞m（m∈R）．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）的图象关于原点对称，
∴f（-x）+f（x）=0，
有log2（1-x）+alog2（1+x）+log2（1+x）+alog2（1-x）=0，
化简得 （a+1）[log2（1-x）+log2（1+x）]=0
∵log2（1-x）+log2（1+x）不恒为0，
∴a+1=0，即a=-1．
（2）由（1）得f(x)=log21+x1-x(-1＜x＜1)则．
∵f
-1（x）=1-22x+1∈（-1，1）
当m≥1时，不等式f
-1（x）＞m 解集为∅
当-1＜m＜1时，解不等式 f-1（x）＞m 有
2x-12x+1＞m⇒1-22x+1＞m⇒2x＞1+m1-m⇒x＞log21+m1-m
解集为 {x|x＞log21+m1-m}
当m≤-1时，不等式f-1（x）＞m对任意的x都成立，即解集为R