Question

1一阶非齐次线性线性微分方程p（x）Q（x）以T为周期，不已经推出y是以T为周期的了吗，我写的推论对吗？

求佬们帮忙解决一下

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

Answer 1

证明:∵微分方程为y'+P(x)y=Q(x) 又∵

P(x)与Q(x)是周期为T的函数 ∴设(x，y(x))与(x+T，y(x+T))为y=y(x)上，有dy(x)/dx+P(x)y(x)=Q(x)，dy(x+T)/d(x+T)+P(x+T)y(x+T)=Q(x+T)，则dy(x+T)/dx/[d(x+T)/dx]+P(x+T)y(x+T)=Q(x+T)，化为dy(x+T)/dx+P(x)y(x+T)=Q(x)；有dy(x)/dx-dy(x+T)/dx+P(x)y(x)-P(x)y(x+T)=0，d(y(x+T)-y(x))/dx+P(x)(y(x+T)-y(x))=0，[(y(x+T)-y(x))e^∫P(x)dx]'=0，(y(x+T)-y(x))e^∫P(x)dx=c(c为任意常数)，y(x+T)-y(x)=c/e^∫P(x)dx ∴y(x)不一定为以T为周期的函数或者方程

若y(0)=y(T)时，则c=0(e^∫P(x)dx＞0)，

y(x+T)-y(x)=0，y(x)为周期函数

若y(x)为周期函数，则y(0)=y(T)

为充分必要条件

Answer 2

因为这个题的原题是一道证明题 他要你证明这个充分性 你用通解证明不了