Question

导数的定义和几何意义!讨论连续性！

如图

Answer 1

导数是当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

导数是函数的局部性质。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

Answer 2

f(x)
=(x^2-1)/(x-1) ; x ≠1
=2 ; x=1
lim(x->1) (x^2-1)/(x-1) =lim(x->1) (x+1) =2 =f(1)

x=1, f(x) 连续
f'(1)
=lim(h->0) [f(1+h) -f(1) ]/h
=lim(h->0) { [(1+h)^2-1] /h -2 }/h
=lim(h->0) [ (h^2+2h)/h -2 ]/h
=lim(h->0) h/h
=1

=>
x=1, f(x) 可导

Answer 3

Answer 4

y=x+1，x≠1，则左极限=2，右极限=2，而当x=1时，y=2，则刚好连续。