Question

柯西不等式的微积分形式,以及该如何证明?

Answer 1

（柯西中值定理）设函数 满足：
（1）在 上都连续； （2）在 上都可导；
（3） 不同时为零； （4） .
则存在 ,使得
例8、设 ,证明
证明：设 ,则
对于 在 上应用柯西中值定理有 ,
设 ,则
当 时,有 , .所以 在 上单调递减
从而 ,即
故
注：柯西中值定理是研究两个函数变量关系的中值定理,当一个函数取作自变量时,它就是就是拉格朗日中值定理,所以能用拉格朗日中值定理证明的不等式一定能用柯西中值定理来证明,反之则不然.