1+2+3+...+正无穷=-1/12
我们知道，无穷级数中1 + 2 + 3 + 4 + … 为所有自然数的和，是一个发散级数，尽管这个级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值，透过 黎曼ζ函数正规化 与 拉马努金求和 等方法可产生一有限值，即为-1/12，表示为：
此结果在复分析、量子力学及弦理论等领域中有所应用。
也就是说，T是我们要解的问题，而另外两个数列是用来求解T的过程中需要用到的工具，一旦能解开T1、T2，T便能迎刃而解。
那么，就先来看看T1，
你看到这个问题，直觉会认为答案应该是「0」，因为：
如果像上头一样把所有的1、－1全部用括弧分组，那么每组括弧里刚好可以正负相抵，最后T1的答案是0。然而，我们也可以把括弧的位置调整一下，那么T1将可以写成下头的形式：
咦！？原本答案应该是「0」的计算式，瞬间变成了「1」！
「不知道是奇数还是偶数，那就加起来取平均吧！所以答案是0.5！」
不知道这个说法？你是否可以接受呢？
「因为不确定是0或是1，就取平均值当答案，这未免太随便了！」相信你应该是怎么想的，不过如果T1＝0.5的结果不成立，那么接下来的推演就无法继续下去了！
事实上，要证明这个结果，除了用取平均的方式外， 还有其他的方式 。
另一种T1的解法如下：
除了这两种方式外，也还存在其他证明方式，总之T1＝1／2应该是没有太大疑问的。
接著我们来看T2
那么，两倍的T2，把第二个 T2 往后顺延一格，即〔〕中的内容：
如果把两列的纵向数字（标记成同色以方便比较）直接相加：
看到「1－1＋1－1＋1－1＋1」，那不就是上头出现过的T1
于是乎：
最后，终于到关键的 T 了，这次从「T－T2」出发：
当 T 减去 T2 时，由于两个数列的奇数项是一致的，相减后为0；偶数列的数字相等，但正负号相反，相减后变为两倍，因此变成「4、8、12 …」以4逐渐增加的等差级数。在此，如果把4提到外头：
括弧中的「1＋2＋3＋…」不就是T自身吗，然又 T2 ＝1／4，因此：
在拉马努金写给戈弗雷·哈罗德·哈代的第二封信中（日期为1913年2月27日）：
欧拉对 1 + 2 + 3 + · · · = −1⁄12 的证明
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