Question

证明极限存在 左右极限存在并相等

我是大一的学生，作业有个题:函数f(x)在x→x0时极限存在的充要条件是左右极限存在并相等。

Answer 1

可以这样去理解，在数列的极限中已经证明了收敛数列只会存在一个极限，在函数中同样可以套用那个证明过程来证明，那么也就是说一个函数在一个点的去心领域内若存在极限，那么极限只会有唯一一个。如果左右极限不相等的话，那么在x0的左边f(x)会有一个极限，在x0的右边f(x)会有另一个极限，那么函数在一个点的去心领域内就会存在两个极限，存在矛盾，所以当函数存在极限的时候，左右极限应当都相等。
当函数极限存在的时候，那么根据定义可以得到x在一个区间内，y也会在一个区间内。那么把x区间的那个绝对值去掉，并且根据左右极限的定义，就可以得出，当函数极限存在的时候，左右极限应该都存在。至此证明了充分性。
**对于必要性的证明就是，根据左右极限的定义，可以看出在左极限自变量和x0的距离满足 0 < x-x0 <δ1 时，对于任意所给的 ε ，都可以满足 | f(x)- ε | 趋于无限小；同理，在右极限自变量和x0的距离满足 0 < x0-x <δ2 时，对于任意所给的 ε ，都可以满足 | f(x)- ε | 趋于无限小，那么取 δ1 和 δ2的最小值，然后构成函数极限的绝对值，即 |x-x0|<min(δ1 ,δ2)的时候，就都会满足 | f(x)- ε | 趋于无限小，进而证明了必要性

Answer 2

x趋于x0时f(x)极限存在等价于，对于任意给出的一个正数ε，总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε会成立

左极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时,f(x)-A<ε

右极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时,A-f(x)<ε

所以左右极限都存在时，总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时

-ε<f(x)-A<ε

即|f(x)-A|<ε

所以

函数f(x)当x->x0时极限存在的充要条件是左极限,右极限均存在并相等

Answer 3

x趋于x0时f(x)极限存在等价于，对于任意给出的一个正数ε，总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε会成立
左极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时,f(x)-A<ε
右极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时,A-f(x)<ε
所以左右极限都存在时，总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时
-ε<f(x)-A<ε
即|f(x)-A|<ε
所以
函数f(x)当x->x0时极限存在的充要条件是左极限,右极限均存在并相等

Answer 4

一个极限如果要存在，首先要存在左极限和右极限，然后他们相等才会有极限。因为定义函数极限时从两边趋近一个点那么函数值也趋近于某个值来定义的（不一定是这个点的函数值，如果是的话，为连续）。是从两边趋近的。那么对于那些在分段函数的分段点两端。就由于左右极限不相等认为不存在极限。

Answer 5

书上好像就有过程