设f是A到B的函数,g是B到C的函数,若f复合g是双射,证明f为单射,g为满射
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按定义反证就可以.
若f不单,则存在A的元素a1≠ a2使得f(a1)=f(a2).(1)
由(1)得到g(f(a1))=g(f(a2)),
所以g(f)不是单射,这就与g(f)是双射矛盾.所以f单.
另一方面,若g不满,则存在C的元素c使得对B的任意元素b有g(b)≠c.(2)
对A的任意元素a,f(a)是B的一个元素,所以由(2)得到g(f(a))≠c,
所以g(f)不是满射,这就与g(f)是双射矛盾.所以g满.
证毕.
若f不单,则存在A的元素a1≠ a2使得f(a1)=f(a2).(1)
由(1)得到g(f(a1))=g(f(a2)),
所以g(f)不是单射,这就与g(f)是双射矛盾.所以f单.
另一方面,若g不满,则存在C的元素c使得对B的任意元素b有g(b)≠c.(2)
对A的任意元素a,f(a)是B的一个元素,所以由(2)得到g(f(a))≠c,
所以g(f)不是满射,这就与g(f)是双射矛盾.所以g满.
证毕.
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