Question

矩阵相似的定义是什么？

Answer 1

矩阵内积：两个矩阵A、B对应分量乘积之和，结果为一个标量，记作（与向量的内积/点积/数量积的定义相似）。 所以A、B的行数列数都应相同，且有结论=tr(A^T* B)。

内积空间是线性代数理论中重要的组成部分，而想要理解它，最好先问自己两个问题：一是我们为什么需要这个东西（即引入内积空间的motivation）；二是内积空间能为我们带来什么（即关注其意义和应用）。

矩阵内积的意义

首先说一下引入内积空间的动机，简要概括就是希望对几何空间中的向量进行度量，我们知道在线性空间中，线性结构使得我们可以进行加法和标量乘法的运算，然而向量的其他特性也是很重要的，比如长度和角度。

这里有一点需要注意，这里向量的概念不局限于数组向量，还可以是矩阵、多项式等更抽象更广义层面上的“向量”。

接下来我们可以看到，定义了内积之后，就会多很多数学工具，比如范数，比如内积空间最重要的特点：正交性，当然内积空间可以继续拓展，比如加入完备性成为Hilbert空间，这一部分将在泛函分析中讨论。