Question

一道高数题 求第一问咋证明的 需要过程 谢谢

Answer 1

f(x)在x0处带有拉格朗日余项的一阶泰勒公式为：
f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+[f''(ξ)/2]*(x-x0)^2，其中ξ介于x和x0之间，且0<x,x0<2
所以f(1)=f(x0)+f'(x0)*(1-x0)+[f''(ξ)/2]*(1-x0)^2
0=f(x0)-f'(x0)*(x0-1)+[f''(ξ)/2]*(x0-1)^2
f(x0)=f'(x0)*(x0-1)-[f''(ξ)/2]*(x0-1)^2
因为f''(ξ)>=0
所以f(x0)<=f'(x0)*(x0-1)
因为x0是在区间(0,2)内任意取的，所以对任意x∈(0,2)，有
f(x)<=f'(x)*(x-1)
证毕