如何用向量法求两个相交平面的角平分面?
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计算角平分面,设n₁,n₂分别为平面1平面2的法向量,n₃为角平分面的法向量
有两种方法:一是构造菱形,角平分面的法向量是原平面的法向量的单位向量之和或差,即n₁/|n₁|±n₂/|n₂|,再以两平面交线上一点构造平面。
解:∵x-y-2z=2,x+2y+z=8
∴n₁=(1,-1,-2), n₂=(1,2,1),
∵ |n₂|²=|n₁|²
∴n₃=n₁±n₂,n₃=(2,1,-1)或n₃=(0,1,-1)
联立得-(x-y-2z)+(x+2y+z)=6得3(z+y)=6,
取交点(0,1,1)
则两平面的角平分面为2x+y-z=0,或y-z=0
另一方法是轨迹法,以平分面上任一点到两个平面的距离相等设方程。
有两种方法:一是构造菱形,角平分面的法向量是原平面的法向量的单位向量之和或差,即n₁/|n₁|±n₂/|n₂|,再以两平面交线上一点构造平面。
解:∵x-y-2z=2,x+2y+z=8
∴n₁=(1,-1,-2), n₂=(1,2,1),
∵ |n₂|²=|n₁|²
∴n₃=n₁±n₂,n₃=(2,1,-1)或n₃=(0,1,-1)
联立得-(x-y-2z)+(x+2y+z)=6得3(z+y)=6,
取交点(0,1,1)
则两平面的角平分面为2x+y-z=0,或y-z=0
另一方法是轨迹法,以平分面上任一点到两个平面的距离相等设方程。
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