Question

∫x(1+2x)²dx

Answer 1

😳问题 : ∫x(1+2x)^2 dx

什么是不定积分

👉不定积分

• 在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。

• 不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

1. 『例子一』 ∫ dx = x +C

2. 『例子二』 ∫ cosx dx = sinx +C
   

3. 『例子三』∫ x^2 dx = (1/3)x^3 + C

👉回答

∫x(1+2x)^2 dx

• 利用 d(1+2x)^3 = 6(1+2x)^2 dx

=(1/6)∫x d(1+2x)^3

• 利用  ∫ u dv =uv-∫ v du 

=(1/6)x(1+2x)^3 -(1/6)∫(1+2x)^3 dx

• 利用 d(1+2x) = 2dx

=(1/6)x(1+2x)^3 -(1/12)∫(1+2x)^3 d(1+2x)

• ∫ x^n dx = [1/(n+1)]x^(n+1) + C

=(1/6)x(1+2x)^3 -(1/48)(1+2x)^4 +C

😄: 结果 ∫x(1+2x)^2 dx =(1/6)x(1+2x)^3 -(1/48)(1+2x)^4 +C

Answer 2

方法如下，请作参考：

若有帮助，
请采纳。

Answer 3

我们可以将被积函数拆分成两个部分：
∫x(1+2x)²dx = ∫x(1+4x+4x²)dx = ∫xdx + 4∫x²dx + 4∫x³dx
接下来，我们可以依次对每一项进行积分：
∫xdx = x²/2 + C1 ∫x²dx = x³/3 + C2 ∫x³dx = x⁴/4 + C3
其中，C1、C2、C3 都是常数项。将这些结果合并起来，我们得到：
∫x(1+2x)²dx = x²/2 + 4x³/3 + x⁴/4 + C
因此，被积函数的不定积分为 x²/2 + 4x³/3 + x⁴/4 + C，其中 C 为常数项。